このノートでは、正六角形を六つの正三角形に分けて眺めるところから出発し、そこに立ち現れる数「3」を、数学、自然、手仕事、言葉、物語、色という複数の方向から見ていきます。「六角形を三角形に分ける」という操作は、子どもの図形遊びのようにも見えますが、問う場所を変えるたびに、まるで違う顔が現れます。コンパスひとつで描ける作図であり、蜂の巣や雪の結晶が選ぶ形であり、ナットやボルトの頭の形であり、さらには物語の語り口や、色の知覚の仕組みにまで、3という数は入り込んでいます。
ここでは、数秘術や神秘的な意味づけには近づきません。確かめられる事実と、人々が考えてきた道筋をたどりながら、３と三角形にどんな居場所がありうるのかを探ってみたいと思います。
はじめに
紙の上にコンパスで円を描き、針を開いた幅をそのままに、円周に沿って順に印をつけていきます。六つ目の印は、ちょうど最初の点に戻ってきます。その六つの点を結べば、正六角形のできあがりです。中心から各頂点へ線を引くと、六つの正三角形が現れます。
不思議なのは、六角形の一辺の長さが、外側の円の半径とぴったり等しいことです。測ったわけでも、調整したわけでもないのに、図形のほうがそう決まっている。それは偶然のようで、実は必然であるのです。
そして、ここにはもうひとつ奇妙な事実があります。四角形は、辺の長さを決めても形が定まらず、手で押せば平行四辺形に潰れます。ところが三角形は、三つの辺の長さを決めた時点で、形がひとつに決まってしまう。「3」は、形が自立できる最小の数なのです。
それにしても、なぜ私たちは、3という数の前で何度も立ち止まるのでしょうか。なぜ、六角形はこれほど、さまざまな場所に繰り返し現れるのでしょうか。
このノートは、その「なぜ」に向かいます。答えを出すためだけではなく、問いを研ぎ澄ますためにです。
六つの三角形をめぐる八つのアプローチ
Ⅰ 作図と角度から
正六角形は、合同な六つの正三角形を、中心のまわりに並べたものです。三角形の内角は60°で、それが六つ集まって360°になります。六角形の内角は、三角形二つ分の120°です。一辺をsとすれば、面積は (3√3/2)s²。つまり、正三角形ひとつ分の六倍です。
ユークリッドの『原論』は、第1巻の最初の命題で正三角形の作図を示し、第4巻で円に内接する正六角形を扱っています。正六角形が定規とコンパスだけで描けるのは、6が 2×3 だからでもあります。「どの正多角形が作図できるか」という問いは、ガウスが1796年に正十七角形の作図を見つけたことで大きく動きましたが、その入口に立っているのも、3という数です。
Ⅱ 敷き詰めの数学
同じ正多角形だけで平面をすき間なく埋められるのは、正三角形、正方形、正六角形の三種類だけです。一点に集まる枚数を数えると、正三角形なら6枚、正方形なら4枚、正六角形なら3枚。三角形では6、六角形では3。この数字の入れ替わりは偶然ではありません。三角形の格子で、隣り合う三角形の中心どうしを結ぶと、六角形の格子（蜂の巣の形）が現れます。点と面を入れ替えると互いに移り合う、双対という関係です。
円を平面にできるだけ密に詰めるときも、最良の並べ方は六角配置です。ひとつの円に接する円は6つ、占める割合はおよそ0.907。さらに、平面を同じ面積の領域に分けるとき、境界線の長さの合計が最小になるのは正六角形による分割だろう、という「蜂の巣予想」は、1999年にトーマス・ヘイルズが証明しました。古代から言われてきた直感に、ようやく数学が追いついたことになります。
Ⅲ 自然のなかの六角形
蜂の巣については、古代の数学者パッポスもミツバチの巧みさを論じ、ダーウィンも関心を寄せています。ただし、ミツバチが計算して六角形をつくっているとは限りません。蜜蝋が柔らかくなって表面張力で形が整っていく、という物理的な説明も提案されており、「なぜ六角形か」には、まだ議論の余地があります。
雪の結晶が六回対称なのは、氷の結晶そのものが六方晶だからです。土星の北極には、六角形をした雲の渦が観測されています。玄武岩や安山岩が冷えて割れる柱状節理（アイルランドのジャイアンツ・コーズウェーや福井の東尋坊など）も六角に近い柱をつくりますが、整った正六角形ばかりではなく、五角形や七角形が混ざります。
分子の世界では、ベンゼン環が六角形です。ケクレが蛇の夢からその構造を思いついた、という逸話はよく語られますが、後年の回想であり、真偽には議論があります。炭素が六角形に並んだ一枚のシート（グラフェン）は、2010年のノーベル物理学賞につながりました。
Ⅳ 手仕事と遊びのなかの六角形
ナットやボルトの頭が六角形なのは、レンチを60°ごとにかけ直せて、狭い場所でも回しやすいからだと言われます。四角より角が鈍く、丸より滑りにくい。鉛筆の軸が六角形なのも、持ちやすく、机の上で転がりにくいからでしょう。
ボードゲームでは、六角形のマス目がしばしば使われます。正方形のマスでは、斜めの隣だけが遠くなるのに対し、六角形のマスでは、隣り合う六つのマスがすべて同じ距離にあるからです。
日本の文様にも、亀甲（きっこう）や麻の葉のように、六角形と三角形を土台にしたものが数多くあります。六角形と三角形を組み合わせた籠目（かごめ）の格子は、物理学の分野でも「カゴメ格子」の名で呼ばれています。
Ⅴ 3という数の数学
3は、もっとも小さな奇数の素数です。三つの点があれば平面が決まり、三本の直線で囲めば閉じた図形ができ、三つの辺の長さで形が決まります。古代エジプトの縄張り師は、12個の結び目をつけた縄を 3・4・5 に折り曲げて直角をつくった、と伝えられています。三角形は、建築や橋の骨組みで力を支える基本の形でもあります。
一方で、3は秩序が崩れはじめる数でもあります。二つの天体の運動は式で解けますが、三つになると一般には解けなくなる。これが「三体問題」で、19世紀末にポアンカレらがその難しさを明らかにしました。さらに1975年、リーとヨークは「周期3はカオスを導く」という論文を発表します。ある種の力学系が周期3の軌道を持つなら、あらゆる周期の軌道が存在する、というものです。3は、きれいな形の最小単位であると同時に、複雑さの入口でもあるのです。
Ⅵ 三つ組の言葉と思考
漢字の「三」は、横線を三本重ねた形です。一、二、三まではただ線を積み上げ、四から字の成り立ちが変わります。老子には「道は一を生じ、一は二を生じ、二は三を生じ、三は万物を生ず」とあり、三から先は「たくさん」の世界でした。
哲学では、パースが世界を第一性・第二性・第三性に分けました。記号は「記号・対象・解釈項」という三項の関係でできている、と彼は考えます。二項では対立や衝突にとどまりますが、三項になってはじめて「媒介」が生まれる。ヘーゲルの「正・反・合」は、彼の名とともに語られがちですが、本人の用語ではないとされています。
日本語にも、「三人寄れば文殊の知恵」「三度目の正直」「石の上にも三年」「三日坊主」と、三の入ったことわざが並びます。修辞でも、三つ並べると据わりがよく、“Veni, vidi, vici” や「自由・平等・友愛」のように、言葉は三拍子で響きます。
Ⅶ 物語のなかの3
物語の構造にも、3は深く入り込んでいます。映画や戯曲の三幕構成。雅楽に由来し、能に受け継がれた序・破・急。落語の三題噺。昔話では「三匹のこぶた」や「三つの願い」のように、同じことを二度繰り返して、三度目で裏切ります。反復と逸脱のあいだに、物語の呼吸が生まれます。
登場人物でいえば、二人の間にあるのは「関係」ですが、三人になると「物語」が動きだします。ルネ・ジラールは『欲望の現象学』で、人の欲望は直接ではなく、他者を媒介にして生まれると論じました（「三角形的欲望」）。漱石の『こころ』など、日本の近代小説にも、三角関係が主題になる作品は数えきれないほどあります。
Ⅷ 色のなかの3と6
人間の目には、三種類の錐体（S・M・L）があります。それにより色は、三つの数の組み合わせで表せます。赤・緑・青のRGBを軸にとると、色は立方体になります。その立方体を、白と黒を結ぶ対角線の方向から眺めると、ちょうど正六角形に見えます。六つの頂点には、赤、黄、緑、シアン、青、マゼンタが並びます。三つの原色と、その混色の三つで、六。HSVという色モデルが「六角錐」の形で描かれるのは、このためです（1978年、アルヴィ・レイ・スミスによる提案）。
3と6は、色の世界でも出会っているのです。青は、この六角形の頂点のひとつです。
これらの八つのアプローチを見たあとで、あらためて考えてみます。三角形は六角形の「部品」なのか、それとも六角形は三角形が広がった姿なのか。
どちらとも言えるでしょう。六つの三角形が一点に集まれば六角形になり、三つの六角形が一点に集まれば平面が埋まります。3と6は、互いが互いを抱え込む関係にあり、どちらが部品でどちらが全体かは、見る位置によって入れ替わりと言えるでしょう。
3は、ひとつの点と点のあいだにあった「関係」が、構造や物語に変わる最小の数です。そう考えると、六角形は、その3が静かに閉じ合わさって、ひとつの面になった姿と解釈できるかもしれません。
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